Jurisprudência em Teses do STJ, Ed. 243: Tese 9: O pedido de abertura de inventário e o arrolamento de bens, com a regularização processual por meio de nomeação de advogado, implicam a aceitação tácita da herança e impossibilitam a sua renúncia.

Necessidade de instrumento público para conferir poder de renunciar herança superior a 30 SM.
A constituição de procurador com poder especial para renunciar à herança de valor superior a trinta vezes o maior salário-mínimo deve ser feita por instrumento público ou termo judicial para ter validade. STJ. 3ª Turma. REsp 1236671-SP, Rel. originário Min. Massami Uyeda, Rel. para acórdão Min. Sidnei Beneti, julgado em 9/10/2012.

A partir de que momento a renúncia é perfeccionada?
A renúncia da herança é ato solene, exigindo o art. 1.806 do Código Civil, para o seu reconhecimento, que conste “expressamente de instrumento público ou termo judicial”, sob pena de nulidade (art. 166, IV) e de não produzir qualquer efeito, sendo que “a constituição de mandatário para a renúncia à herança deve obedecer à mesma forma, não tendo validade a outorga por instrumento particular.
STJ. REsp 1.236.671/SP, Rel. p/ Acórdão Ministro Sidnei Beneti, Terceira Turma, julgado em 09/10/2012, DJe 04/03/2013.

Portanto, a renúncia à herança só se torna perfeita com assinatura do termo judicial ou da escritura pública.